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Colloque
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Jean-Paul Delahaye : Université de Lille
Ce qui est simple s'écrit en peu de symboles, et inversement ce qui est complexe en demande beaucoup. Les suites aléatoires de symboles ne peuvent pas se résumer, elles sont incompressibles. Ce sont elles qui donnent les objets les plus complexes dans le sens « ayant les plus grands contenus en information ». Ces idées élémentaires servent de fondement à la « théorie algorithmique de l'information » ou « théorie de la complexité de Kolmogorov ». Elle a été créée vers 1965 par Andrei Kolmogorov et son importance se confirme d'année en année, puisqu'elle trouve aujourd'hui des applications en physique pour définir la notion d'entropie, en biologie où on l'utilise pour concevoir des algorithmes de comparaison de séquences, en psychologie où elle fournit des repères pour mesurer la capacité des humains à reconnaître le hasard et à le simuler.
En logique mathématique et en philosophie des sciences, cette théorie est devenue essentielle puisque que c'est grâce à elle qu'on sait définir ce qu'est une suite infinie aléatoire ou une théorie complexe. Elle permet aussi de distinguer la complexité comme « richesse en informations », de la complexité comme « richesse en structures » (notion au centre des réflexions en théorie de l'évolution). L'une des belles questions que cette théorie permet d'aborder est de savoir si des axiomes portant sur le hasard et la complexité peuvent enrichir une théorie mathématique et lui donner un pouvoir de démonstration accru. En quelques mots : quelle est la force axiomatique du hasard et de la complexité ?
Des travaux récents de Laurent Bienvenu, Antoine Taveneaux, Andrei Romashchenko et Alexander Shen et Stijn Vemeeren répondent de manière précise à cette question (Laurent Bienvenu, et al. The axiomatic power of Kolmogorov complexity. Annals of Pure and Applied Logic 165.9 (2014): 1380-1402). Grâce aux fameux résultats d'incomplétude de Kurt Gödel, on sait depuis maintenant plus de 80 ans qu'une théorie mathématique formalisée assez puissante comporte inévitablement des trous. Pour toute théorie formalisée T assez puissante, il existe des énoncés E tel que T ne peut démontrer ni E, ni NON E. On sait que parmi ces « indécidables », il y a celui qui affirme la consistance de T. Une idée vient naturellement à l'esprit : ajouter aux axiomes de T l'affirmation de sa consistance cons(T). On obtient ainsi une théorie plus puissante que T ; on a en réduit l'incomplétude. D'autres méthodes de complétion sont envisageables et les résultats obtenus par Bienvenu et ses collègues sur ce problème nous éclairent sur trois points importants.
- Ajouter sans méthode des axiomes affirmant des propriétés presque certaines sur la complexité ne les conduit pas à prouver des théorèmes nouveaux limitant l'incomplétude, mais en revanche raccourcit certaines démonstrations.
- Ajouter comme axiomes des formules indiquant précisément la complexité de séquences assez nombreuses supprime les indécidables de la forme « pour tout x : P(x) » (où P est assez simple) ce qui constitue un renforcement sensible du pouvoir démonstratif de la théorie.
- Tous les axiomes du type « la complexité de s vaut n » n'ont pas la même force. Certains, assez rares, sont extrêmement puissants et rendent inutiles la plupart des autres.
2017 marque le 10e anniversaire de la mort du philosophe belge Jean Ladrière (1921-2007) et le 50e anniversaire de son ouvrage séminal, Les limitations internes des formalismes. Étude sur la signification du théorème de Gödel et des théorèmes apparentés dans la théorie des fondements des mathématiques (Louvain, Nauwelaerts / Paris, Gauthier-Villars). Son œuvre importante, reconnue internationalement, touche à tous les domaines de la philosophie. Parmi les thèmes structurants de cette œuvre, on trouve celui de la limite : chaque domaine de la rationalité met en lumière une limite constitutive qui en indique l’essentielle incomplétude et son ouverture à une nouvelle dimension du réel. Chez Ladrière, l’émergence d’une région frontière évoque une limite qui fait entendre un discours paradoxal apte à faire voir la limite depuis l’intérieur même de la limite. Ce discours pose la question de l’au-delà de la limite et de la possibilité d’y accéder par de nouveaux modes émergents du discours. Ainsi, la philosophie de Ladrière s’articule autour du ternaire dynamique des limites, de leur dépassement et de l’articulation des différents registres du sens. Sont mises en lumière une variété de limites affectant autant la raison théorique que la raison pratique (action) et qui concernent toutes les dimensions de la réflexion philosophique : l’épistémologie et la critique de la science, les diverses formes de rationalité, la philosophie du langage, l’anthropologie philosophique, la philosophie de la nature, la philosophie sociale et politique, la philosophie de l’action et l’éthique, la philosophie de l’histoire, la philosophie de la religion ainsi que l’ontologie. C’est dire la diversité des portes d’entrée qu’elle ouvre et la variété des pistes d’exploration qu’elle propose. Par-delà ces divers champs, c’est une problématique de la limite comme caractéristique essentielle de l’expérience de la modernité tardive qui se fait valoir. S’esquisse ainsi une critique de la modernité qui, sans pour autant renoncer à cette dernière, fait ressortir à la fois l’incontournable finitude de toute entreprise humaine et l’irréductibilité de la visée illimitée qui sous-tend l’existence humaine.
Thème du congrès 2017 (85e édition) :
Thème du colloque :
Responsables :
Date :
12 mai 2017
