Colloque

Construction d'une toute première structure mathématique réalisant le paradoxe de Skolem

François-Michel Denis

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François-Michel Denis

Résumé du colloque

Prenant acte d'un théorème démontré par Leopold Löwenheim en 1915, le logicien norvégien Thoralf Skolem n'a eu de cesse, de 1915 jusqu'à sa mort en 1963, d'insister sur ce fait étonnant qu'il doit exister un modèle dénombrable de la théorie des ensembles, lors même que cette théorie fournit l'outil pour fabriquer, à partir de tout ensemble dénombrable, un ensemble non dénombrable. Jusqu'à maintenant, personne n'avait jamais exhibé d'ensemble arithmétique à la fois dénombrable et non dénombrable, selon deux angles de vue cantoriens tout aussi légitimes l'un que l'autre. C'est en poursuivant mes recherches en arithmétique constructive radicale, dont j'avais présenté les premiers résultats au dernier colloque de l'ARC (Rimouski, mai 2003), que j'ai réussi, en janvier 2004, à démontrer la dénombrabilité de l'ensemble formé des nombres apparaissant sur un compteur de tous les nombres naturels exprimés en base n (lequel correspond formellement à Zn, l'anneau des entiers n-adiques). Ajouté au fait connu depuis leur découverte (vers 1900) que l'ensemble des nombres de Zn est non dénombrable, mon résultat de janvier fournit un éclairage saisissant sur le « paradoxe de Skolem ». L'affiche dressera d'abord un tableau clair et précis des deux preuves; puis elle mettra en évidence l'équivalence logique entre ma démonstration de la dénombrabilité de l'ensemble des nombres du compteur et celle de la non-dénombrabilité de ce même ensemble de nombres par la diagonale de Cantor; l'affiche annoncera enfin l'incidence de l'affaire sur l'avenir du cantorisme.