Colloque

Développement élémentaire d'une formule d'analyse combinatoire

J. Maranda

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J. Maranda

Résumé du colloque

Dénotons par X(m,n) le nombre de fonctions d'un ensemble E de m éléments sur un ensemble F de n éléments et dénotons par Fij (j = 1, 2, …, (n choose i)), les (n choose i) sous-ensembles de F contenant i éléments exactement. Chaque sous-ensemble de F a une représentation unique comme intersection de certains des sous-ensembles Fij. Si S(F') dénote l'ensemble des fonctions de E dans un sous-ensemble F' de F, et si F' = Fi,j1 ∩ … ∩ Fi,jr (1 ≤ r ≤ n) alors S(F') = S(Fi,j1) ∩ … ∩ S(Fi,jr). Il s'ensuit que si N(S(F')) dénote le nombre de fonctions de E dans S(F'), X(m,n) = N(S(F')) – ⋃ n j=1 S(Fi,j) (… formules par inclusion-exclusion …) = m^n – [∑ j=1n N(S(F1,j)) – ∑ j,k=1n N(S(F1,j) ∩ S(F1,k)) + …] = ∑ (k=0 to n) [(-1)^k × (n choose k) × (n–k)^m]. Si φ(m) dénote le nombre de partitions de l'ensemble E, on déduit alors que φ(m) = ∑ (n=1 to m) [ X(m,n) / n! ] = ∑ (n=1 to m) ∑ (k=0 to n) [(-1)^k × (n choose k) × (n–k)^m / n!] = ∑ (n=1 to m) ∑ (k=0 to n) [(-1)^k / k! × (n–k)^m / (n–k)! ] obtenant ainsi d'une manière élémentaire une formule trouvée par N. S. Mendelsohn (Canadian Journal of Mathematics, Vol. I, no 4, 1949).

Contexte

Section :

Physique et mathématiques

Thème du colloque :

Physique et mathématiques

Responsables :

Larkin Kerwin

Hôte : Université Laval

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