Colloque

Sur la théorie de cohomologie des correspondances

I. Fary

Membre a labase

I. Fary

Résumé du colloque

Nous généralisons aux correspondances la théorie de l'algèbre spectrale d'une application de J. Leray 1). Cette généralisation est utile en géométrie algébrique, où ce sont les correspondances, et non pas les applications, qui interviennent naturellement. Une correspondance C entre les espaces X, Y est un fermé de X×Y. Les images C(A)→Y des A→X sont définies, on peut donc introduire l'image C d'un faisceau défini sur X. C est un faisceau sur Y. THEOREME. Il existe une algèbre spectrale attachée à C, dont le second terme est H(Y, F?), où F? est le faisceau de cohomologie de X, et dont le terme terminal est une algèbre graduée de H(C). Exemple : soit V^(n-1) une série linéaire de sous-variétés algébriques d'une variété algébrique projective complexe V^n; y varie sur une droite projective complexe P; notons W la base de la série. Ces données déterminent une correspondance algébrique C entre V^n et P; si y ∈ P, C(y) = V^(n-1). H(C) est une fonction calculable des invariants cohomologiques de V^n, W; dans ce cas H^(C)(y) est H(V^(n-1)). L'algèbre spectrale du Théorème décrit donc les propriétés cohomologiques de la série linéaire V^(n-1), et nous obtenons une forme moderne de la théorie de S. Lefschetz (v. L'analyse situs et la géométrie algébrique, Gauthier-Villars Ed., Paris, 1924). 1) Journ. de math. pures et appliquées, 39 (1950), p. 1-139; v. aussi: I Fáry, Cohomologie d'une certaine classe d'applications, et Cohomologie des variétés algébriques, à paraître dans les Annals of Mathematics.