Colloque

Sur la théorie multiplicative des idéaux

Jean Maranda

Membre a labase

Jean Maranda

Résumé du colloque

Soit O un anneau commutatif avec élément unité dans lequel chaque élément régulier est inversible. Nous définissons la notion de valuation spéciale de 0 comme généralisation de la notion de valuation discrète de rang 1 d'un domaine d'intégrité et nous démontrons l'équivalence des trois propositions suivantes: 1) Il existe un ensemble de valuations spéciales {V_i; i \in I} de 0 tel que pour chaque élément régulier a \in O, V_i(a) = 0 pour tout i \in I sauf un nombre fini, et pour tout a \neq 0, a \in O si et seulement si V_i(a) >= 0 pour tout i \in I. 2) Chaque idéal propre de 0 engendré par un élément régulier de 0 est l'intersection d'un nombre fini de puissances formelles d'idéaux premiers minimaux de 0. 3. - Le semi-groupe ordonné des classes de 0-idéaux réguliers quasi-égaux de 0 est un groupe. Nous obtenons ainsi une généralisation d'une théorie de W. Krull sur les domaines d'intégrité, Dans le cadre de cette théorie, nous définissons la notion d'anneau de Dedekind généralisé et nous démontrons que si a est un idéal d'un tel anneau 0, alors a = a_S P1^m1 P2^m2 ... Pr^mr où S est l'ensemble des éléments réguliers de 0 et où P1, P2, ..., Pr sont des idéaux premier réguliers minimaux de 0. Finalement, si la condition de chaîne descendante est valide pour les idéaux de 0, nous déterminons tous les ordres de 0 qui sont des anneaux de Dedekind généralisés noethériens.