Colloque

Sur les ensembles exceptionnels

Raphaël Salem

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Raphaël Salem

Résumé du colloque

On appelle ensemble exceptionnel l’ensemble des points où une fonction sommable n’est pas la dérivée de son intégrale indéfinie. Le but de cette note est de montrer qu’il existe des ensembles exceptionnels qui sont de deuxième catégorie. Construisons pour cela une série de FOURIER S dont les coefficients soient d’ordre 0 (1/n) et qui diverge sur un ensemble E de deuxième catégorie. Alors les sommes de FÉJER divergent aussi sur E. Donc f (x) étant la fonction génératrice de S on a, pour x dans E, ∫₀^h [f (x + t) – f (x)] dt ≠ 0 (h) quand h -> 0. Ceci entraîne l’existence d’un nombre rationnel α et d’un ensemble de deuxième catégorie G qui est exceptionnel pour [f(x) — a ]. Remarquons que f, donc [f — a], appartient à la classe Lp pour tout p.