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Colloque
Le dernier ouvrage de van Fraassen Scientific Representation : Paradoxes of Perspective peut être vu comme le complément de son ouvrage de 1980 The Scientific Image, puisqu’il s’agit ici d’élaborer un empirisme structuraliste (ou un structuralisme empiriste) qui viendrait compléter l’empirisme constructif. Ce qui est convoqué sur la scène de la philosophie des sciences sous le nom de structuralisme empiriste (empiricist structuralism) est un perspectivisme qui prend appui sur la science contemporaine et sur l’art de la perspective en peinture pour défendre une posture fondationnelle antiréaliste. C’est dans la théorie de la mesure en physique, en mécanique quantique surtout, que …
Colloque
Je distingue réalisme, constructivisme et antiréalisme selon trois axes : le réalisme est une thèse ontologique, l’antiréalisme une thèse épistémologique et le constructivisme une thèse ou une posture fondationnelle. J’entends par posture fondationnelle une théorie critique de la pratique scientifique, d’abord en mathématiques (et logique) et en physique, dans les sciences exactes en général, mais aussi dans une mesure variable dans les sciences sociales ou humaines. Le réalisme sous toutes ses formes est porteur d’une thèse ontologique : il suppose qu’existe un monde indépendant de choses concrètes ou encore d’entités abstraites déterminées, qu’elles soient nommées ou non, qu’elles entrent ou …
Communication
Le logicien et le mathématicien « classiques » identifient le plus souvent induction complète et descente infinie, pensant à tort que les deux principes sont équivalents. Le logicien constructiviste et l'arithméticien voient les choses autrement et s'emploient à départager les principes. André Weil a bien caractérisé la descente infinie dans son ouvrage sur la théorie des nombres (3) et je veux montrer comment la méthode de preuve que Fermat dit avoir inventée diffère essentiellement de l'induction complète qu'a voulu formaliser Peano dans son postulat d'induction d'inspiration ensembliste. L'identification des deux principes dans l'induction transfinie exige la double négation sur un …
Colloque
Philosophes, logiciens et mathématiciens ont posé la question de l'essence de la logique en termes de structures déductives ou de systèmes formels d'où le contenu est évacué au profit de pures formes inférentielles. D'Aristote à Frege et de Hilbert à Tarski, la théorie de la consécution est liée à la notion de conséquence logique. La logique interne renverse ce point de vue en montrant comment les invariants formels ont un contenu arithmétique. La logique polynomiale modulaire constitue un système unifié qui interprète les constantes logiques dans une logique constructive minimale capable d'accueillir dans une arithmétique générale l'ensemble des contenus mathématiques …
Colloque
L'interpretation polynomiale de l'arithmetique permet d'obtenir une preuve d'auto-consistence pour l'arithmetique de Fermat-Kronecker. Pour l'arithmetique de Peano, une preuve interne n'est pas possible et il faut avoir recours soit à l'induction transfinie comme Gentzen et Ackermann, soit à l'induction sur tous les types finis comme dans l'interpretation Dialectica de Gödel. Nous reformulons la preuve "fonctionnelle" de Gödel en termes d'expressions polynomiales et montrons comment réduire les types arbitraires de Dialectica par la méthode de la descente infinie.
Colloque
Les travaux récents sur les fragments de l'arithmétique de Peano et la théorie de la complexité ont mis en évidence la notion de borne polynomiale dans les théories arithmétiques. Nous montrons que ces nouvelles exigences de finitude découlent de motifs fondationnels qui ont animé le constructivisme depuis Kronecker et l'intuitionnisme. Dans le même sens, une logique arithmétique ou polynomiale doit être constructive si elle veut fonder une arithmétique elle-même prédicative. La consistance de l'arithmétique ne dépend plus dès lors de la consistance de l'arithmétique ensembliste de Dedekind-Peano, mais d'une logique finitaire interne à l'arithmétique polynomiale dont le principe d'induction est …
Colloque
La théorie générale de la logique interne donne la traduction suivante pour l'implication. a→b ≡ (a⊃b)I Cette traduction, la plus simple qu'il soit possible d'imaginer, est adéquate dans la mesure où elle épuise le contenu combinatoire de l'implication. Implication matérielle, formelle, stricte, forte, pertinente, intuitionniste ou encore intuitionniste pertinente peuvent toutes être dérivées de cette représentation pertinente, le fait que traduction polynomiale de l'interprétation topologique de la logique intuitionniste (Beth, Scott), elle échappe à la sémantique ensembliste tout en demeurant une version radicalement constructive de l'implication. Elle garantit aussi la transformation de l'implication classique a→b ≡ a∨b aussi bien qu'intuitionniste …
Colloque
La structure des théories physiques a fait l'objet de nombreuses recherches épistémologiques, en particulier d'inspiration positiviste. On montre que l'analyse positiviste n'est pas allée assez loin dans l'étude du formalisme mathématique et à l'aide d'exemples, e.g. la structure formelle de l'espace de Hilbert, les opérateurs hermitiques, on indique que les règles de correspondance théorie - observables n'ont pas le caractère univoque postulé par le positivisme.
