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Colloque
On appelle transformée de Legendre d'une fonction numérique f, l'ensemble Lf défini par l'équation de la famille des hyperplans tangents au graphe de f; en général, Lf est une "hypersurface à singularités". L'introduction d'une notion de L-équivalence et de L-stabilité pour f nous permet, à l'aide de la théorie du déploiement universel, de classifier, pour presque tous les f∈C∞(Rn), n≤5, les morphologies locales de Lf.
Colloque
Il est impossible, à partir des seuls principes de la thermodynamique, de déterminer explicitement pour un système donné sa surface des états d'équilibre et, a fortiori, son diagramme de phase. Cependant, grâce à la théorie des déploiements universels, on peut a priori fournir, et cela sans un recours à la mécanique statistique, une classification des germes des fonctions énergétiques et caractériser ainsi qualitativement les systèmes thermodynamiques d'équilibre. En fait, les surfaces d'enveloppe libre ne sont autres que les transformées de Legendre des fonctions U. Nous pouvons ainsi caractériser sur leurs morphologies toutes les situations significatives présentées par ces systèmes: stabilité …
Colloque
Nous présentons les aspects fondamentaux de la théorie générale du déploiement universel des germes de fonctions numériques en vue de la classification des catastrophes élémentaires dans R5. Essentiellement, nous établissons un théorème qui permet d'obtenir la liste des déformations universelles pour lesquelles la stabilité est une propriété générique.
Colloque
Une sous-variété Lⁿ d'une variété symplectique (V²ⁿ, ω) est dite lagrangienne si la 2-forme i*ω induite par l'inclusion i: L → V est nulle. Les points critiques des fonctions différentiables sont étroitement reliés aux singularités des projections des variétés lagrangiennes. Nous montrerons comment, à partir de la théorie des déploiements universels, classifier les germes stables des variétés lagrangiennes. De tels résultats sont essentiels pour la plupart des applications de la théorie des catastrophes de R. Thom à la physique.
Colloque
Les points catastrophes d'un système dynamique gradient défini sur une variété différentiable d'état M et contrôlé par R^n sont les c ∈ R^n tels que les fonctions potentielles V = V(c,m), V: C^∞(M), régissant la dynamique soient structurellement instables. À l'aide de la notion de déploiement universel et des techniques de transversalité sur les multi-jets, nous classifions localement les ensembles catastrophes de bifurcation et de conflit des dynamiques gradientes à une variable d'état.
Colloque
Une formule empirique pour l'étude des gaz réels tenant compte des écarts à la loi de Mariotte est fournie par un développement en série du facteur de compressibilité en fonction de la densité molaire : PV/RT = 1 + B(T)/V + C(T)/V^2 + ... Une étude topologico-différentielle de ce développement, dit expansion du viriel, est rendue possible par la théorie des singularités des applications différentiables. Elle vient doubler d'un aspect qualitatif rigoureux, cognitivement indispensable, l'aspect quantitatif jusqu'ici seul considéré.
Colloque
Nous montrons que les caustiques de l'optique géométrique s'identifient aux ensembles catastrophes des dynamiques gradientes. La théorie des catastrophes permet non seulement de classifier les morphologies locales de ces caustiques, mais aussi de caractériser, pour les milieux isotropes et non-homogènes, les fronts d'onde versus ces morphologies archétypes.
Colloque
Le modèle de Gibbs des processus quasi statiques de la thermodynamique classique se formule en termes des dynamiques gradientes. La théorie des catastrophes permet alors de classifier localement les morphologies des surfaces d'état, des ensembles de transition et les singularités des coefficients de réponse des systèmes de la thermodynamique des états d'équilibre.
Colloque
Nous étudions le mécanisme de formation d'une onde de choc faible dans un fluide. Cette approximation acoustique nous fournit des équations du mouvement différentiellment résolubles, desquelles nous pouvons déduire la formation des discontinuités d'état. Les ensembles catastrophes, c'est-à-dire les contours apparents de ces discontinuités dans l'espace de contrôle du système, correspondent aux enveloppes des caractéristiques de ces équations. La classification de René Thom des ensembles catastrophes pour les dynamiques gradientes doit donc correspondre à une classification des solutions de ce type d'équations.
Colloque
En thermodynamique classique, les états d'équilibre d'un système sont déterminés par les extremums d'un potentiel thermodynamique. La théorie des catastrophes de René Thom, qui classifie pour R^4 (l'espace-temps) les dynamiques localement engendrées par un gradient de potentiel, permet une caractérisation locale des surfaces d'état d'un système thermodynamique. Elle fournit ainsi une classification complète des singularités qui présentent les transitions de phase.
