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Colloque
Cette communication donne deux généralisations du théorème de Eneström-Kakeya qui dit qu'un polynôme à coefficients décroissants et positifs ne s'annule pas dans le disque |z| < 1. La première généralisation s'occupe des fonctions analytiques à coefficients complexes à modules décroissants et l'autre s'occupe des polynômes à coefficients complexes à parties réelles décroissantes.
Colloque
Soit p(z) un polynôme de degré n. Alors on a immédiatement (1.1) ∫0 à 2π |p'(e^(iθ))|² dθ = 2π ∑(v=0 à n) |v a_v|² ≤ n² ∫0 à 2π |p(e^(iθ))|² dθ. Si p(z) ≠ 0 dans le disque unité |z|<|K|, Lax [Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944) pp. 509-513] a remplacé l'inégalité (1.1) par (1.2) ∫0 à 2π |p'(e^(iθ))|² dθ ≤ n²/2 ∫0 à 2π |p(e^(iθ))|² dθ. Rahman [Bull. Cand. Math. 7 (1964) pp. 573-595] a remplacé le disque unité par un cercle quelconque |z| = k, k ≤ 1 et a remplacé l'inégalité (1.1) par (1.3) ∫0 à 2π …
Colloque
We prove the following theorem: Theorem: Let f(u) ∈ L(-π, π) and periodic with period 2π. Let a function P(u), tending to +∞ with u, and a sequence {p_n} be defined as follows in terms of p(u) monotonic decreasing and strictly positive for u > 0 (1.1) { P(u) - ∫_0^u p(x) dx ; p_n = p(u) } Then the assumption that for any δ, 0 < δ < π, (1.2) ∫_{1/n}^δ | 1/n ∏(u) | d/du [P(1/u)] du = o (p_0 + p_1 + ... + p_n ) as n → ∞ implies that the sequence {n(b_n cos n …
