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Colloque
La solution perturbée du problème différentiel linéaire du second ordre u'' + q(r)u = Vᵊ(r)u, u(0) = 0, u'(0) = α ≠ 0, est étudiée au moyen de l'équation associée non linéaire du Ier ordre: n' = (V₊(r)/W²) u1(r) u2(η) ∓ u2(r) u1(η) ², η(0) = 0. (V₊(r) perturbation de signe constant). La fonction η = ARG S est définie par la relation implicite S(r) = ∓ u1(η)/u2(η) où S est la fonction de phase (S(r) = C₂(r)/C₁(r), u = C₁(r) u1(r) + C₂(r) u2(r), W(u1',u2') = Wronskien > 0). L'extension à des problèmes de Sturm-Liouville est indiquée ainsi que …
Colloque
Les solutions de l'équation linéaire du second ordre: y" + [p(x) - V1(x)] y' + [q(x) - V2(x)] y = 0 sont reliées aux solutions de l'équation y" + p(x) y' + q(x) y = 0. Cette caractérisation, qui permet d'étudier aisément l'influence des fonctions perturbatrices V1(x) et V2(x), est particulièrement utile en mécanique quantique (V1(x) = 0) et en mécanique classique (V2(x) = 0).
Colloque
On prouve que la "longueur de diffusion" a = lim (k→0) - 1 / [ k cotg δ ] est donnée par T(∞) ou T est solution de dT/dr = - T² / r² + V r² ; T(0)=0. (V(r) ~ r^-3-α, α>0). Cette nouvelle formulation permet d'obtenir aisément des bornes. de a lorsque V(r) est répulsif et identiquement nul après R (a_R). On montre que a_R < a_B / (1 + a_B/R) ou a_B = ∫_0^∞ Vr^2 dr est l'approximation de Born. On indique également une borne supérieure de a - a'_R.
Colloque
Soit f(x) une fonction continue sur (0, nh), on définit (f(x)) = (f(0), f(h), ..., f(nh)). Par un choix approprié de formules d'intégration numérique, nous savons que ∫0→x ∫0→tₙ … ∫0→t₂ f(t₁) dt₁ dt₂ … dtₙ = hⁿ [f(x)] Aⁿ où A est une matrice (n + 1) x (n + 1). Ces remarques permettent de réduire la solution numérique d'une équation différentielle linéaire et même d'un système d'équations différentielles linéaires à un problème linéaire d'algèbre matricielle.
Colloque
Étant donné un portique plan, il est possible d'obtenir immédiatement une "matrice de rigidité" caractéristique de la topologie du cadre et des liaisons; la matrice inverse fournit la rotation des nœuds lors d'une sollicitation quelconque. Cette inversion résout le problème de la répartition des moments, des lignes d'influence et du calcul des effets secondaires. La méthode matricielle peut être prolongée dans différentes directions et R. Jacquemin a obtenu une méthode particulièrement rapide pour les structures multi-étagées. On signale enfin l'application du théorème de Thévenin aux portiques, et l'analogie avec la méthode tensorielle de Kron pour la résolution des circuits électriques.
