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On définit la notion de parallélisme abstrait sur un groupe abélien G et on démontre qu'il existe sur G une telle relation si et seulement si l'anneau des endomorphismes de G contient un sous-anneau qui soit un corps (éventuellement non-commutatif). Ce corps agit transitivement sur chacune des classes de parallélisme si et seulement si le théorème de Desargues est valide.