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Colloque
Dans ce travail, nous montrons que la notion classique de numérotage de Godel possède son équivalent algébrique à l'intérieur du contexte des algèbres polydadiques. Ceci permet de faire ressortir davantage la signification mathématique de l'incomplétude et de l'indécidabilité essentielle de l'arithmétique élémentaire. En plus, les méthodes employées permettent, entre autres choses, la démonstration des deux résultats suivants: (1) toute théorie arithmétique consistante du premier ordre admet un modèle arithmétiquement définissable; (2) si n≥1, alors il existe une fonction arithmétique (n + 1)-adiques qui énumère les fonctions récursives n-adiques totales. Ce dernier résultat est une autre forme du théorème d'incomplétude de …
Colloque
Un système transformationnel est un triplet (A, I, S) où A et I sont des ensembles et S est un homomorphisme du semi-groupe des transformations sur I dans le semi-groupe des transformations sur A; (A, I, S) est appelé une algèbre transformationnelle si A est une algèbre booléenne et si S (σ) est un endomorphisme booléen de A pour toute transformation σ sur I. Soit (A, I, S) un système transformationnel, et soit n un entier positif. Si A*ₙ est l'algèbre booléenne libre sur Aⁿ, et si, pour toute transformation sur I, S*ₙ(σ) est l'unique endomorphisme de A*ₙ tel que …
Colloque
Une égalité booléenne sur un ensemble X est un couple (B, E) où B est une algèbre booléenne et E est une fonction de X X X dans B telle que, pour tout x, y, z dans X, (1) E(x, x) = 1, (2) E(x, y) = E(y, x), (3) E(x, y) = E(y, z), (4) B est engendrée par E(X X X). Soit R l'ensemble des relations d'équivalence sur X; R est muni d'une topologie en le considérant comme sous-espace de l'espace de toutes les fonctions de X X X dans Θ, celui-ci étant muni de la topologie du …
Colloque
Halmos a démontré dans la seconde d'une série d'articles sur la logique algébrique que toute algèbre monadique est isomorphe à une algèbre monadique fonctionnelle. Nous donnons une preuve plus courte de ce théorème en utilisant les deux faits suivants : a) une algèbre monadique peut se plonger dans une somme directe d'algèbres monadiques simples ; b) une somme directe d'algèbres simples est riche.
