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Colloque
En 1872, Weierstrass a introduit la fonction \( \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) \). Les conditions données par Weierstrass sur a et b pour que cette fonction soit continue, mais nulle part dérivable sont: 0 < a < 1, ab > 1+3\pi/2, où b est un entier impair. Par la suite, plusieurs mathématiciens ont reconnu que des conditions plus générales laissent la fonction de Weierstrass sans dérivée. Ainsi, Hardy a démontré qu'aucune des fonctions \( \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n x) \) et \( \sum_{n=0}^{\infty} a^n \sin(b^n x) \) ne possède nulle part une dérivée pour 0 < a < 1 et …
Colloque
Dans le volume de Mandelbrot sur ce qu'il a appelé les ensembles fractaux, on décrit une classe de courbes que le mathématicien Hermite aurait qualifié de monstrueuses. On construit ces courbes par un procédé itératif. On commence avec une ligne polygonale L à n côtés. On remplace chaque segment de la ligne polygonale par une autre ligne polygonale semblable à L et dont les extrémités sont précisément les extrémités du segment. Sur la nouvelle ligne polygonale obtenue, on reprend la substitution des segments par des lignes semblables à L et ainsi de suite. L'étude de la convergence du procédé est …
Colloque
Soit $M_{n,k}$ la totalité des fonctions de la forme $f(t) = t^n - \sum_{i=1}^{k} P_i (t-x_i)^{n-1}$ on définit l'élongation de f comme le plus grand nombre c tel que f prend des valeurs comprises entre 0 et 1 sur l'intervalle [0,c]. On montre qu'il existe deux suites $\{P_i\}_{i=1}$ et $\{x_i\}_{i=1}$ qui ne dépendent que de n telles que pour chaque valeur de k, $t^n - \sum_{i=1}^{k} P_i (t-x_i)^{n-1}$ est l'unique monospline de $M_{n,k}$ à élongation maximale. On étudie le comportement des deux suites $P_i$ et $x_i$, ce sont deux suites d'une extrême régularité. On indique enfin l'utilité de ces monosplines …
Colloque
Dans sa thèse de doctorat présentée à l'Université Sherbrooke, monsieur M. Bourdeau a introduit un critère intéressant d'optimalité. Si C est un cône convexe saillant, si I est une fonctionnelle linéaire définie sur C que l'on veut approcher par une fonctionnelle Q d'une famille donnée de fonctionnelles linéaires sur C, si L est une fonctionnelle linéaire de contrôle qui ne s'annulle jamais sur C-{0}, on définit l'oscillation de Q autour de I comme la quantité sup{|f(g-Q)-f(f-g):f∈C, g∈C, L(f)=L(g)=1}. Une fonctionnelle Q est optimale pour I si son oscillation autour de I est la minimale dans la classe. Nous avons considéré …
Colloque
Soit D un demi-groupe, S une partie donnée de D et x un élément fixé de D, deux joueurs A et B déterminent une suite x_0, x_1, x_2,... x_0 = x. Le joueur A choisit un élément x_1 tel que x_0 x_1 ∈ S. Le joueur B choisit un élément x_2 tel que x_1 x_2 ∈ S. Et l'on continue. Le premier joueur qui ne peut pas trouver un élément x_n tel que x_{n-1} x_n ∈ S perd la partie. On convient que le joueur A gagne si une suite infinie {x_i} est construite. Désignons par G l'ensemble des x …
Colloque
Nous reprenons le problème des secrétaires considéré par Chow, Moriguti, Robbins et Samuels. Dans ce problème la fonction f(x1,x2,...) = Σ_{k=1}^{k-1} [Π_{i=1}^{k-1} x_i] x_k^-k joue un rôle critique. Nous déterminons le minimum de la fonction f sur l'ensemble: Π_{k=1}^{∞}[0,1], Ce minimum est Π_{k=2}^{∞} k^(1/(k^2-1)).
Colloque
L'auteur donne des exemples où la théorie des points extrémaux se révèle un outil très puissant pour aborder plusieurs problèmes d'analyse. Ces exemples portent sur la décomposition spectrale d'une matrice symétrique, sur le théorème de Polya pour obtenir des fonctions définies-positives, sur une inégalité de Hadamard (||f'||_∞^2 ≤ 2||f||_∞ ||f''||_∞), sur le théorème de Bernstein sur les fonctions complètement monotones et sur le théorème de Liouville (au sujet des fonctions analytiques bornées) via le lemme de Choquet-Deny.
